已知长度为的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设不经过...

问题详情：

已知长度为的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点．若直线与的斜率之和为，求实数的值．

【回答】

【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），A（m，0），B（0，n），

∵，

∴（x，y﹣n）＝3（m﹣x，﹣y）＝（3m﹣3x，﹣3y），

即，

∴，

∵|AB|＝4，

∴m2+n2＝16，

∴，

∴曲线C的方程为：；

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），

由，消去y得，

37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，

由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，

可得﹣，

又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），

且直线HM与HN的斜率存在，

∴t≠±1，

又，，

∴kHM+kHN＝

＝

＝4﹣＝1，

解得t＝3，

故t的值为3．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题