如圖，是的直徑，點C，點D在上，，與相交於點E，與相切於點A，與延長線相交於點F．（1）求*：．（2）若，，求...

問題詳情：

如圖，是的直徑，點C，點D在上，，與相交於點E，與相切於點A，與延長線相交於點F．

（1）求*：．

（2）若，，求的半徑．

【回答】

（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據圓周角定理得到∠ACB=90°，根據切線*質得到∠BAF=90°，由得出∠CAD=∠CDA，結合∠CDA=∠ABC，*∠CAF=∠CAD，從而*△ACF≌△ACE，即可得到結論；

（2）根據EF求出CE，結合sin∠ABF=sin∠CAD求出AE，再利用勾股定理算出AC，最後根據sin∠ABF=求出AB即可得到半徑．

【詳解】

解：（1）∵AB為圓O直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AF與圓O相切，

∴∠BAF=90°=∠CAF+∠CAB，

∴∠CBA+∠CAB=90°，

∵，

∴AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

又∵∠CDA=∠CBA，

∴∠CDA+∠CAB=∠CAD+∠CAB=90°，

∴∠CAF=∠CAD，又AC=AC，∠ACF=∠ACE=90°，

∴△ACF≌△ACE（ASA），

∴AE=AF；

（2）∵∠ABF=∠ADC=∠CAD，

∴sin∠ABF=sin∠CAD==，

∵△ACF≌△ACE，EF=12，

∴CE=CF=6，

∴=，解得：AE=10，

∴AC==8，

∴sin∠ABF==，

∴AB=，

∴圓O的半徑為．

【點睛】

本題考查了圓周角定理，切線的*質，全等三角形的判定和*質，正弦的定義，知識點較多，有一定難度，解題時要注意多個知識點相結合．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題