已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，若f（）=﹣．（1）求a的值，并写出函数f...

问题详情：

已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，若f（）=﹣．

（1）求a的值，并写出函数f（x）的最小正周期（不需*）；

（2）是否存在正整数k，使得函数f（x）在区间[0，kπ]内恰有2017个零点？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，

∵f（）=﹣．

∴a（sin+cos）﹣sin﹣1=﹣．

解得：a=1，

函数f（x）的最小正周期T=π，

（2）存在n=504，满足题意：

理由如下：

当时，，

设t=sinx+cosx，则 ，sin2x=t2﹣1，

则，可得 t=1或，

由t=sinx+cosx图象可知，x在上有4个零点满足题意．

当时，，t=sinx﹣cosx，

则 ，sin2x=1﹣t2，

，，t=1或，

∵，

∴x在上不存在零点．

 综上讨论知：函数f（x）在[0，π）上有4个零点，而2017=4×504+1，

因此函数在[0，504π]有2017个零点，所以存在正整数k=504满足题意．

知识点：三角函数

题型：解答题