问题详情:
已知函数f(x)=﹣4cos2x+4asinxcosx+2,若f(x)的图象关于点(,0)对称.
(1)求实数a,并求出f(x)的单调减区间;
(2)求f(x)的最小正周期,并求f(x)在[﹣,]上的值域.
【回答】
【解答】解:(1)∵函数f(x)=﹣4cos2x+4asinxcosx+2=2asin2x﹣2cos2x,
∵f(x)的图象关于点(,0)对称.
∴a﹣=0,
解得:a=1,
∴函数f(x)=2sin2x﹣2cos2x=4sin(2x﹣),
由2x﹣∈[+2kπ,+2kπ],k∈Z得:
x∈[+kπ,+kπ],k∈Z,
故f(x)的单调减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z;
(2)由(1)中函数解析式可得ω=2,
故T=π,
当x∈[﹣,]时,2x﹣∈[﹣,],
当2x﹣=﹣,即x=﹣时,函数取最小值﹣4,
当2x﹣=,即x=时,函数取最大值2,
故f(x)在[﹣,]上的值域为[﹣4,2].
知识点:三角恒等变换
题型:解答题