問題詳情:
如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC時
(1)若CE⊥BD於E,
①∠ECD= °;
②求*:BD=2EC;
(2)如圖,點P是*線BA上A點右邊一動點,以CP為斜邊作等腰直角△CPF,其中∠F=90°,點Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點.當點P運動時,點Q是否一定在*線BD上?若在,請*,若不在;請説明理由.
【回答】
【考點】三角形綜合題.
【分析】(1)①先運用三角形內角和定理,得出∠ABD=∠ECD,再根據∠ABD=22.5°,得到∠ECD=22.5°;②延長CE交BA的延長線於點G,通過判定△ABD≌△ACG,得出BD=CG=2CE即可;
(2)連接CQ,過點Q作QM⊥BP於M,作QN⊥BC於N,在等腰直角△CPF中,求得∠QCP=∠QPC=22.5°,進而得出△PQC中,∠PQC=135°;在四邊形QNBM中,根據QM⊥BP,QN⊥BC,∠ABC=45°,得到∠MQN=135°,進而得到∠NQC=∠MQP,根據AAS判定△QPM≌△QCN,得出QM=QN,最後根據角平分線的*質定理的逆定理,得出點Q一定在*線BD上.
【解答】解:(1)①∵∠BAC=90°,CE⊥BD,∠ADB=∠CDE,
∴∠ABD=∠ECD,
又∵∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=22.5°,
∴∠ECD=22.5°;
故*為:22.5.
②如圖,延長CE交BA的延長線於點G,
∵BD平分∠ABC,CE⊥BD,
∴CE=GE,
在△ABD與△ACG中,
,
∴△ABD≌△ACG(AAS),
∴BD=CG=2CE;
(2)點Q一定在*線BD上,
理由:如圖,連接CQ,過點Q作QM⊥BP於M,作QN⊥BC於N,
∵QF為∠PFC的角平分線,△CPF為等腰直角三角形,
∴QF為PC的垂直平分線,
∴PQ=QC,
∵Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點,
∴CQ平分∠FCP,
∵△CPF為等腰直角三角形,
∴∠FCP=∠FPC=45°,
∴∠QCP=∠QPC=22.5°,
∴△PQC中,∠PQC=135°,
∵在四邊形QNBM中,QM⊥BP,QN⊥BC,∠ABC=45°,
∴∠MQN=135°,
∴∠MQN=∠PQC,
∴∠NQC=∠MQP,
又∵QC=QP,QM⊥BP,QN⊥BC,
∴△QPM≌△QCN(AAS),
∴QM=QN,
又∵QM⊥BP,QN⊥BC,
∴點Q一定在*線BD上.
【點評】本題主要考查了三角形的綜合應用,解題時需要運用三角形內角和定理、等腰直角三角形的*質、角平分線的定義以及全等三角形的判定與*質等知識.解決問題的關鍵是作輔助線,構造全等三角形,根據全等三角形的*質進行推導.解題時注意:到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.
知識點:三角形全等的判定
題型:綜合題