問題詳情:
(1)發現:如圖1,點A為線段BC外一動點,且BC=a,AB=b.
填空:當點A位於 時,線段AC的長取得最大值,且最大值為 (用含a,b的式子表示)
(2)應用:點A為線段BC外一動點,且BC=3,AB=1,如圖2所示,分別以AB,AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.
①請找出圖中與BE相等的線段,並説明理由;
②直接寫出線段BE長的最大值.
(3)拓展:如圖3,在平面直角座標系中,點A的座標為(2,0),點B的座標為(5,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的座標.
【回答】
【分析】(1)根據點A位於CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,即可得到結論;
(2)①根據等邊三角形的*質得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD≌△EAB,根據全等三角形的*質得到CD=BE;②由於線段BE長的最大值=線段CD的最大值,根據(1)中的結論即可得到結果;
(3)連接BM,將△APM繞着點P順時針旋轉90°得到△PBN,連接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根據全等三角形的*質得到PN=PA=2,BN=AM,根據當N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,即可得到最大值為2+3;如圖2,過P作PE⊥x軸於E,根據等腰直角三角形的*質即可得到結論.
【解答】解:(1)∵點A為線段BC外一動點,且BC=a,AB=b,
∴當點A位於CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,且最大值為BC+AB=a+b,
故*為:CB的延長線上,a+b;
(2)①CD=BE,
理由:∵△ABD與△ACE是等邊三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠CAD=∠EAB,
在△CAD與△EAB中,,
∴△CAD≌△EAB,
∴CD=BE;
②∵線段BE長的最大值=線段CD的最大值,
由(1)知,當線段CD的長取得最大值時,點D在CB的延長線上,
∴最大值為BD+BC=AB+BC=4;
(3)∵將△APM繞着點P順時針旋轉90°得到△PBN,連接AN,
則△APN是等腰直角三角形,
∴PN=PA=2,BN=AM,
∵A的座標為(2,0),點B的座標為(5,0),
∴OA=2,OB=5,
∴AB=3,
∴線段AM長的最大值=線段BN長的最大值,
∴當N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,
最大值=AB+AN,
∵AN=AP=2,
∴最大值為2+3;
如圖2,過P作PE⊥x軸於E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴PE=AE=,
∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣=2﹣,
∴P(2﹣,).
【點評】本題考查了全等三角形的判定和*質,等腰直角三角形的*質,最大值問題,旋轉的*質.正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵
知識點:圖形的旋轉
題型:綜合題