（2019·河南初三）如圖：已知△ABC中，CA=CB，CD⊥AB於D點，點M為線段AC上一動點，線段MN交D...

問題詳情：

（2019·河南初三）如圖：已知△ABC中，CA=CB，CD⊥AB於D點，點M為線段AC上一動點，線段MN交DC於點N，且∠BAC=2∠CMN，過點C作CE⊥MN交MN延長線於點E，交線段AB於點F，探索的值.

（1）若∠ACB=90°，點M與點A重合（如圖1）時：①線段CE與EF之間的數量關係是              ；②=         ；

（2）在（1）的條件下，若點M不與點A重合（如圖2），請猜想寫出的值，並*你的猜想

（3）若∠ACB≠90°，∠CAB=，其他條件不變，請直接寫出的值（用含有的式子表示）

【回答】

（1）①CE=EF，② ；（2）=，理由見解析；（3）=.

【解析】

 (1)、①CE=EF；② ；

(2)、=

理由如下：如圖2所示：過點M作MQ//AB交CD於點P，交CF於點Q，

則有∠CMP=∠BAC=45°， ∴CP=MP，

∵∠BAC=2∠CMN，    ∴∠CMP=2∠CMN，   ∴∠CMN=∠NMP=22.5°，∵CE⊥MN，

∴∠CEM=∠QEM=90°，∴CE=EQ （三線合一），∵CD⊥AB，  MQ//AB，

∴CD⊥MQ，∴∠MPN=∠CPQ=90°，又∵∠NCE+∠CNE=∠NCE+∠CQN=90°，

∴∠CQN=∠CNE=∠MNP，又CP=MP，∴△MPN△CPQ，∴CE=EQ ，MC=MQ，

∴CE=CQ=MN，∴=；

(3)、=．

圖1                      圖2                         圖3

點睛：本題主要考查的是三角形全等的*與*質，等腰三角形的*質，綜合*較強，難度較大．作出輔助線構造三角形全等是解決這個問題的關鍵．

知識點：解直角三角形與其應用

題型：解答題