問題：如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉9...

問題詳情：

問題：如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關係式為　   　；

探索：如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關係，並*你的結論；

應用：如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的長．

【回答】

解：（1）BC＝DC+EC，

理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+CD＝EC+CD，

故*為：BC＝DC+EC；

（2）BD2+CD2＝2AD2，

理由如下：連接CE，

由（1）得，△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，

∴∠DCE＝90°，

∴CE2+CD2＝ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，

∴BD2+CD2＝2AD2；

（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，連接CE，DE，

∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD與△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE＝9，

∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，

∴∠EDC＝90°，

∴DE＝＝6，

∵∠DAE＝90°，

∴AD＝AE＝DE＝6．

【點評】本題考查的是全等三角形的判定和*質、勾股定理、以及旋轉變換的*質，掌握全等三角形的判定定理和*質定理是解題的關鍵．

知識點：勾股定理

題型：解答題