如圖1，△ABC中，∠C=90°，線段DE在*線BC上，且DE=AC，線段DE沿*線BC運動，開始時，點D與點...

問題詳情：

如圖1，△ABC中，∠C=90°，線段DE在*線BC上，且DE=AC，線段DE沿*線BC運動，開始時，點D與點B重合，點D到達點C時運動停止，過點D作DF=DB，與*線BA相交於點F，過點E作BC的垂線，與*線BA相交於點G．設BD=x，四邊形DEGF與△ABC重疊部分的面積為S，S關於x的函數圖象如圖2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3時，函數的解析式不同）

（1）填空：BC的長是　　　　　　；

（2）求S關於x的函數關係式，並寫出x的取值範圍．

【回答】

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）由圖象即可解決問題．

（2）分三種情形①如圖1中，當0≤x≤1時，作DM⊥AB於M，根據S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四邊形ECAG即可解決．

②如圖2中，作AN∥DF交BC於N，設BN=AN=x，在RT△ANC中，利用勾股定理求出x，再根據S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四邊形ECAG即可解決．

③如圖3中，根據S=CD•CM，求出CM即可解決問題．

【解答】解；（1）由圖象可知BC=3．

故*為3．

（2）①如圖1中，當0≤x≤1時，作DM⊥AB於M，

由題意BC=3，AC=2，∠C=90°，

∴AB==，

∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，

∴△BMD∽△BCA，

∴==，

∴DM=，BM=，

∵BD=DF，DM⊥BF，

∴BM=MF，

∴S△BDF=x2，

∵EG∥AC，

∴=，

∴=，

∴EG=（x+2），

∴S四邊形ECAG= [2+（x+2）]•（1﹣x），

∴S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四邊形ECAG=3﹣x2﹣ [2+（x+2）]•（1﹣x）=﹣x2+x+．

②如圖②中，作AN∥DF交BC於N，設BN=AN=x，

在RT△ANC中，∵AN2=CN2+AC2，

∴x2=22+（3﹣x）2，

∴x=，

∴當1＜x≤時，S=S△ABC﹣S△BDF=3﹣x2，

③如圖3中，當＜x≤3時，

∵DM∥AN，

∴=，

∴=，

∴CM=（3﹣x），

∴S=CD•CM=（3﹣x）2，

綜上所述S=．

【點評】本題考查四邊形綜合題、等腰三角形的*質、相似三角形的*質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會分類討論，正確畫出圖形，屬於中考壓軸題．

知識點：各地中考

題型：解答題