已知拋物線的焦點為，準線為，若點在拋物線上，點在直線上，且是周長為的等邊三角形．（1）求拋物線的標準方程；（2...

問題詳情：

已知拋物線的焦點為，準線為，若點在拋物線上，點在直線上，且是周長為的等邊三角形．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）過點的直線與拋物線交於，兩點，拋物線在點處的切線與直線交於點，求的面積的最小值．

【回答】

【*】（1）；（2）．

【解析】（1）因為是周長為的等邊三角形，所以，（1分）

由拋物線的定義可得，設準線與軸交於點，

則，從而，（3分）

在中，，即，

所以拋物線的標準方程為．（5分）

（2）由題可知直線的斜率存在，設直線的方程為，

將代入，消去可得．

設，，則，，（6分）

所以，

設過點的切線方程為，

將代入，消去可得，

又，所以，即，

所以，解得，

所以過點的切線方程為，即，（8分）

令，可得，則，所以，

所以點到直線的距離，（10分）

所以，若且唯若時，等號成立，

所以的面積的最小值為．（12分）

知識點：座標系與參數方程

題型：解答題