問題詳情:
如圖①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中點.
小明對圖①進行了如下探究:在線段AD上任取一點P,連接PB.將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉80°,點B的對應點是點E,連接BE,得到△BPE.小明發現,隨着點P在線段AD上位置的變化,點E的位置也在變化,點E可能在直線AD的左側,也可能在直線AD上,還可能在直線AD的右側.
請你幫助小明繼續探究,並解答下列問題:
(1)當點E在直線AD上時,如圖②所示.
①∠BEP= °;
②連接CE,直線CE與直線AB的位置關係是 .
(2)請在圖③中畫出△BPE,使點E在直線AD的右側,連接CE.試判斷直線CE與直線AB的位置關係,並説明理由.
(3)當點P在線段AD上運動時,求AE的最小值.
【回答】
【解答】解:(1)①如圖②中,
∵∠BPE=80°,PB=PE,
∴∠PEB=∠PBE=50°,
②結論:AB∥EC.
理由:∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
∴∠BDE=90°,
∴∠EBD=90°﹣50°=40°,
∵AE垂直平分線段BC,
∴EB=EC,
∴∠ECB=∠EBC=40°,
∵AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠ABC=∠ACB=40°,
∴∠ABC=∠ECB,
∴AB∥EC.
故*為50,AB∥EC.
(2)如圖③中,以P為圓心,PB為半徑作⊙P.
∵AD垂直平分線段BC,
∴PB=PC,
∴∠BCE=∠BPE=40°,
∵∠ABC=40°,
∴AB∥EC.
(3)如圖④中,作AH⊥CE於H,
∵點E在*線CE上運動,點P在線段AD上運動,
∴當點P運動到與點A重合時,AE的值最小,此時AE的最小值=AB=3.
知識點:各地中考
題型:綜合題