問題詳情:
如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.
(1)利用尺規作∠ADC的平分線DE,交BC於點E,連接AE(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)的條件下,①*:AE⊥DE;
②若CD=2,AB=4,點M,N分別是AE,AB上的動點,求BM+MN的最小值.
【回答】
(1)*見解析;(2)①*見解析;②.
【解析】
(1)利用尺規作出∠ADC的角平分線即可;
(2)①延長DE交AB的延長線於F.只要*AD=AF,DE=EF,利用等腰三角形三線合一的*質即可解決問題;②作點B關於AE的對稱點K,連接EK,作KH⊥AB於H,DG⊥AB於G.連接MK.由MB=MK,推出MB+MN=KM+MN,根據垂線段最短可知:當K、M、N共線,且與KH重合時,KM+MN的值最小,最小值為KH的長.
【詳解】
(1)如圖,∠ADC的平分線DE如圖所示,
(2)延長DE交AB的延長線於F,
∵CD∥AF,
∴∠CDE=∠F,
∵∠CDE=∠ADE,
∴∠ADF=∠F,
∴AD=AF,
∵AD=AB+CD=AB+BF,
∴CD=BF,
∵∠DEC=∠BEF,
∴△DEC≌△FEB,
∴DE=EF,
∵AD=AF,
∴AE⊥DE;
②作點B關於AE的對稱點K,連接EK,作KH⊥AB於H,DG⊥AB於G.連接MK,
∵AD=AF,DE=EF,
∴AE平分∠DAF,則△AEK≌△AEB,
∴AK=AB=4,
在Rt△ADG中,DG,
∵KH∥DG,
∴,
∴,
∴KH,
∵MB=MK,
∴MB+MN=KM+MN,
∴當K、M、N共線,且與KH重合時,KM+MN的值最小,最小值為KH的長,∴BM+MN的最小值為.
【點睛】
本題考查作圖-基本作圖,軸對稱最短問題,全等三角形的判定和*質,等腰三角形的判定和*質等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題,學會利用軸對稱解決最短問題,屬於中考常考題型.
知識點:勾股定理
題型:解答題