如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，AB=BC=AC=4，AD＝CD＝，O是AC的中點，E是BD的...

問題詳情：

如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，AB=BC=AC=4，

AD＝CD＝，O是AC的中點，E是BD的中點．

    （1）*：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的餘弦值．

【回答】

1）*：∵ AD＝CD＝， O是AC的中點，

∴ DO⊥AC．

∵ 平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，

∴ DO⊥底面ABC．           ………………………………4分

（2）解：由條件易知DO⊥BO，BO⊥AC．

OA＝OC＝OD＝2， OB＝

如圖，以點O為座標原點，OA為x軸，

OB為y軸，OC為z軸建立空間直角座標系．

則，，，

，，

         ，，．    ……………6分

設平面ADE的一個法向量為，

則 即

        令，則，所以．       ……………8分

同理可得平面AEC的一個法向量．       ……………10分

．

因為二面角D-AE-C的平面角為鋭角,所以二面角D-AE-C的餘弦值為． ……12分

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題