如圖，四稜錐P­ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，點E是稜PB的中點．(1)求...

問題詳情：

如圖，四稜錐P­ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，點E是稜PB的中點．

(1)求直線AD與平面PBC的距離；

(2)若AD＝，求二面角A­EC­D的平面角的餘弦值．

【回答】

解析：(1)如圖，以A為座標原點，*線AB、AD，AP分別為x軸、y軸，z軸正半軸，建立空間直角座標系Axyz.

設D(0，a，0)，則B(，0，0)，C(，a，0)，P(0，0，)，E.

因此，＝，＝(0，a，0)，

＝(，a，－)．

則·＝0，·＝0，所以AE⊥平面PBC.

又由AD∥BC知AD∥平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離，即為||＝.

(2)設平面AEC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，

因為＝，＝(，，0)，

所以

令x1＝－1，得y1＝，z1＝1，

所以n1＝(－1，，1)．

設平面EDC的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，

因為＝，＝(－，0，0)，

所以

令z2＝，得y2＝1.

所以n2＝(0，1，)．

故cos〈n1，n2〉＝＝.

所以二面角A­EC­D的平面角的餘弦值為.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題