問題詳情:
如圖所示,在四稜錐P-ABCD中,側面PAD⊥底面ABCD,側稜PA=PD=,PA⊥PD,
底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O為AD中點.
(1)求B點到平面PCD的距離;
(2)線段PD上是否存在一點Q,使得二面角Q-AC-D的餘弦值為?
若存在,求出的值;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:在△PAD中,PA=PD,O為AD中點,∴PO⊥AD.
又∵側面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,∴PO⊥平面ABCD.
在△PAD中,PA⊥PD,PA=PD=,∴AD=2.
在直角梯形ABCD中,O為AD的中點,AB⊥AD,∴OC⊥AD.
以O為座標原點,OC為x軸,OD為y軸,OP為z軸建立空間直角座標系,如圖所示,
則P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
(1)∴=(1,-1,-1).
設平面PCD的法向量為u=(x,y,z),
則取z=1,得u=(1,1,1).
則B點到平面PCD的距離d==.
(2)設=λ(0≤λ≤1).∵=(0,1,-1),∴-==(0,λ,-λ),
∴=(0,λ,1-λ),∴Q(0,λ,1-λ).
設平面CAQ的法向量為m=(x,y,z),
則取z=1+λ,得m=(1-λ,λ-1,λ+1).
平面CAD的一個法向量為n=(0,0,1),
∵二面角Q-AC-D的餘弦值為,
∴|cos〈m,n〉|==.
整理化簡,得3λ2-10λ+3=0.解得λ=或λ=3(捨去),∴存在,且=.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題