如圖，已知在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF於G，給出下列結...

問題詳情：

如圖，已知在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF於G，給出下列結論：

①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF．

其中結論正確的共有（　　）

A．1個  B．2個   C．3個  D．4個

【回答】

C【考點】正方形的*質；全等三角形的判定與*質；線段垂直平分線的*質；等邊三角形的*質．

【分析】通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的*質就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關係，表示出BE與EF，再通過比較可以得出結論．

【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等邊三角形，

∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF（故①正確）．

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°（故②正確），

∵BC=CD，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．（故③正確）．

設EC=x，由勾股定理，得

EF=x，CG=x，

AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，

∴AC=，

∴AB=，

∴BE=﹣x=，

∴BE+DF=x﹣x≠x．（故④錯誤）．

正確的有3個．

故選：C．

【點評】本題考查了正方形的*質的運用，全等三角形的判定及*質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的*質的運用，解答本題時運用勾股定理的*質解題時關鍵．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：選擇題