問題詳情:
如圖,(圖1,圖2),四邊形ABCD是邊長為4的正方形,點E在線段BC上,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP於點F,交BC的延長線於點N, FN⊥BC.
(1)若點E是BC的中點(如圖1),AE與EF相等嗎?
(2)點E在BC間運動時(如圖2),設BE=x,△ECF的面積為y.
①求y與x的函數關係式;
②當x取何值時,y有最大值,並求出這個最大值.
【回答】
(1)AE=EF;(2)①y=-x2+2x(0<x<4),②當x=2,y最大值=2.
【解析】
(1)在AB上取一點G,使AG=EC,連接GE,利用ASA,易*得:△AGE≌△ECF,則可*得:AE=EF;
(2)同(1)可*AE=EF,利用AAS*△ABE≌△ENF,根據全等三角形對應邊相等可得FN=BE,再表示出EC,然後利用三角形的面積公式即可列式表示出△ECF的面積為y,然後整理再根據二次函數求解最值問題.
【詳解】
(1)如圖,在AB上取AG=EC,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,
有∵AG=EC ,∴BG=BE ,
又∵∠B=90°,
∴∠AGE=135°,
又∵∠BCD=90°,CP平分∠DCN,
∴∠ECF=135°,
∵∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠FEC=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
在△AGE和△ECF中,
,
∴△AGE≌△ECF,
∴AE=EF;
(2)①∵由(1)*可知當E不是中點時同理可*AE=EF,
∵∠BAE=∠NEF,∠B=∠ENF=90°,
∴△ABE≌△ENF,
∴FN=BE=x,
∴S△ECF= (BC-BE)·FN,
即y= x(4-x),
∴y=- x2+2x(0<x<4),
②,
當x=2,y最大值=2.
【點睛】
本題考查了正方形的*質,全等三角形的判定與*質,二次函數的最值問題,綜合*較強,正確添加輔助線、熟練掌握相關知識是解題的關鍵.
知識點:實際問題與二次函數
題型:解答題