問題詳情:
如圖1,在平面直角座標系中,已知A(a,0),B(b,3),C(4,0),且滿足(a+b)2+|a﹣b+6|=0,線段AB交y軸於F點.
(1)求點A、B的座標;
(2)點D為y軸正半軸上一點,若ED∥AB,且AM,DM分別平分∠CAB,∠ODE,如圖 2,求∠AMD的度數;
(3)如圖 3,(也可以利用圖 1)①求點F的座標;②座標軸上是否存在點P,使得△ABP和△ABC的面積相等?若存在,求出P點座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
【考點】三角形綜合題.
【分析】(1)根據非負數的*質可求出a和b,即可得到點A和B的座標;
(2)由平行線的*質結合角平分線的定義可得則∠NDM﹣∠OAN=45°,再利用∠OAN=90°﹣∠ANO=90°﹣∠DNM,得到∠NDM﹣(90°﹣∠DNM)=45°,所以∠NDM+∠DNM=135°,然後根據三角形內角和定理得180°﹣∠NMD=135°,可求得∠NMD=45°;
(3)①連結OB,如圖3,設F(0,t),根據S△AOF+S△BOF=S△AOB,得到關於t的方程,可求得t的值,則可求得點F的座標;②先計算△ABC的面積,再分點P在y軸上和在x軸上討論.當P點在y軸上時,設P(0,y),利用S△ABP=S△APF+S△BPF,可解得y的值,可求得P點座標;當P點在x軸上時,設P(x,0),根據三角形面積公式得,同理可得到關於x的方程,可求得x的值,可求得P點座標.
【解答】解:
(1)∵(a+b)2+|a﹣b+6|=0,
∴a+b=0,a﹣b+6=0,
∴a=﹣3,b=3,
∴A(﹣3,0),B(3,3);
(2)如圖2,
∵AB∥DE,
∴∠ODE+∠DFB=180°,
而∠DFB=∠AFO=90°﹣∠FAO,
∴∠ODE+90°﹣∠FAO=180°,
∵AM,DM分別平分∠CAB,∠ODE,
∴∠OAN=∠FAO,∠NDM=∠ODE,
∴∠NDM﹣∠OAN=45°,
而∠OAN=90°﹣∠ANO=90°﹣∠DNM,
∴∠NDM﹣(90°﹣∠DNM)=45°,
∴∠NDM+∠DNM=135°,
∴180°﹣∠NMD=135°,
∴∠NMD=45°,
即∠AMD=45°;
(3)①連結OB,如圖3,
設F(0,t),
∵S△AOF+S△BOF=S△AOB,
∴•3•t+•t•3=×3×3,解得t=,
∴F點座標為(0,);
②存在.
△ABC的面積=×7×3=,
當P點在y軸上時,設P(0,y),
∵S△ABP=S△APF+S△BPF,
∴•|y﹣|•3+•|y﹣|•3=,解得y=5或y=﹣2,
∴此時P點座標為(0,5)或(0,﹣2);
當P點在x軸上時,設P(x,0),
則•|x+3|•3=,解得x=﹣10或x=4,
∴此時P點座標為(﹣10,0),
綜上可知存在滿足條件的點P,其座標為(0,5)或(0,﹣2)或(﹣10,0).
知識點:與三角形有關的線段
題型:綜合題