問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,四邊形OABC的頂點座標分別為O(0,0),A(12,0),B(8,6),C(0,6).動點P從點O出發,以每秒3個單位長度的速度沿邊OA向終點A運動;動點Q從點B同時出發,以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動.設運動的時間為t秒,PQ2=y.
(1)直接寫出y關於t的函數解析式及t的取值範圍: ;
(2)當PQ=3時,求t的值;
(3)連接OB交PQ於點D,若雙曲線y=(k≠0)經過點D,問k的值是否變化?若不變化,請求出k的值;若變化,請説明理由.
【回答】
【解答】解:(1)過點P作PE⊥BC於點E,如圖1所示.
當運動時間為t秒時(0≤t≤4)時,點P的座標為(3t,0),點Q的座標為(8﹣2t,6),
∴PE=6,EQ=|8﹣2t﹣3t|=|8﹣5t|,
∴PQ2=PE2+EQ2=62+|8﹣5t|2=25t2﹣80t+100,
∴y=25t2﹣80t+100(0≤t≤4).
故*為:y=25t2﹣80t+100(0≤t≤4).
(2)當PQ=3時,25t2﹣80t+100=(3)2,
整理,得:5t2﹣16t+11=0,
解得:t1=1,t2=.
(3)經過點D的雙曲線y=(k≠0)的k值不變.
連接OB,交PQ於點D,過點D作DF⊥OA於點F,如圖2所示.
∵OC=6,BC=8,
∴OB==10.
∵BQ∥OP,
∴△BDQ∽△ODP,
∴===,
∴OD=6.
∵CB∥OA,
∴∠DOF=∠OBC.
在Rt△OBC中,sin∠OBC===,cos∠OBC===,
∴OF=OD•cos∠OBC=6×=,DF=OD•sin∠OBC=6×=,
∴點D的座標為(,),
∴經過點D的雙曲線y=(k≠0)的k值為×=.
【點評】本題考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定與*質、平行線的*質以及反比例函數圖象上點的座標特徵,解題的關鍵是:(1)利用勾股定理,找出y關於t的函數解析式;(2)通過解一元二次方程,求出當PQ=3時t的值;(3)利用相似三角形的*質及解直角三角形,找出點D的座標.
知識點:各地中考
題型:綜合題