速運動．動點Q同時從點C出發以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點P到達點B時，點P、Q同時停止運動．設...

問題詳情：

速運動．動點Q同時從點C出發以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點P到達點B時，點P、Q同時停止運動．設運動時間為以t（s）．過點P作PE⊥AC於E，連接PQ交AC邊於D．以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE．

（1）當t為何值時，△BPQ為直角三角形；

（2）是否存在某一時刻t，使點F在∠ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請説明理由；

（3）求DE的長；

（4）取線段BC的中點M，連接PM，將△BPM沿直線PM翻折，得△B′PM，連接AB′，當t為何值時，AB'的值最小？並求出最小值．

【回答】

【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝60°，

∴當BQ＝2BP時，∠BPQ＝90°，

∴6+t＝2（6﹣t），

∴t＝3，

∴t＝3時，△BPQ是直角三角形．

（2）存在．

理由：如圖1中，連接BF交AC於M．

∵BF平分∠ABC，BA＝BC，

∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，

∵EF∥BQ，

∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，

∴EF＝2EM，

∴t＝2•（3﹣t），

解得t＝3．

（3）如圖2中，作PK∥BC交AC於K．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠A＝60°，

∵PK∥BC，

∴∠APK＝∠B＝60°，

∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，

∴△APK是等邊三角形，

∴PA＝PK，

∵PE⊥AK，

∴AE＝EK，

∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，

∴△PKD≌△QCD（AAS），

∴DK＝DC，

∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．

（4）如圖3中，連接AM，AB′

∵BM＝CM＝3，AB＝AC，

∴AM⊥BC，

∴AM＝＝3，

∵AB′≥AM﹣MB′，

∴AB′≥3﹣3，

∴AB′的最小值為3﹣3．

知識點：各地中考

題型：綜合題