如圖（十七）所示，將二次函數y＝x2＋2x＋1的圖象沿x軸翻折，然後向右平移1個單位，再向上平移4個單位，得到...

問題詳情：

如圖（十七）所示，將二次函數y＝x2＋2x＋1的圖象沿x軸翻折，然後向右平移1個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象．函數y＝x2＋2x＋1的圖象的頂點為點A．函數y＝ax2＋bx＋c的圖象的頂點為點B，和x軸的交點為點C，D（點D位於點C的左側）．

（1）求函數y＝ax2＋bx＋c的解析式；

（2）從點A，C，D三個點中任取兩個點和點B構造三角形，求構造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若點M是線段BC上的動點，點N是△ABC三邊上的動點，是否存在以AM為斜邊的Rt△AMN，使△AMN的面積為△ABC面積的，若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）將拋物線y＝x2＋2x＋1沿x軸翻折得到：y＝－x2－2x－1，

將拋物線y＝－x2－2x－1，向右平移1個單位得到：y＝－x2,

將拋物線y＝－x2向上平移4個單位得到：y＝－x2＋4．

所求函數y＝ax2＋bx＋c的解析式為y＝－x2＋4．………………………………2分

（2）從A，C，D三個點中任選兩個點和點B構造的三角形有：△BAC，△BAD，△BCD．

A，B，C，D的座標分別為(－1，0)，(0，4)，(2，0)，(－2，0)，

可求得AB＝，AC＝3，BC＝2，AD＝1，BD＝2，CD＝4，

只有△BCD為等腰三角形，所以構造的三角形是等腰三角形的概率P＝．…4分

   （3）S△ABC＝AC·BO＝×3×4＝6．

        ①當點N在邊AC上時，點M在邊BC上，在Rt△AMN中，MN⊥AC．

設點N的座標為(m，0)，則AN＝m＋1，點M的橫座標為m．

由B(0，4)，C(2，0)易得線段BC的解析式為y＝－2x＋4，其中0≤x≤2，

所以點M的縱座標為－2m＋4，則MN＝－2m＋4．

S△AMN ＝AN·MN＝(m＋1)(－2m＋4)

＝S△ABC＝2．

解得m1＝1，m2＝0．

當m＝1時，N點的座標為(1，0)，M點的座標為(1，2)，AN＝2，MN＝2．

tan∠MAN＝＝＝1．……………5分

當m＝0時，N點的座標為(0，0)，M點與點B重合，座標為(0，4)，AN＝1，MN＝4．

tan∠MAN＝＝＝4．………………………………………………………6分

        ②當點N在BC上時，點M在BC上，Rt△AMN中，MN⊥AN，

因為S△AMN＝S△ABC，所以AN·MN＝×BC·AN，

所以MN＝BC＝．

因為S△ABC＝BC·AN＝×2·AN＝6，

所以AN＝．

所以tan∠MAN＝＝＝．…………8分

③當點N在AB上時，點M在BC上，Rt△AMN中，MN⊥AN．

設AN＝t，則BN＝–t，

過點A作AG⊥BC於點G，由②得AG＝．

在Rt△ABG中，BG＝＝．

易*△BNM∽△BGA，

所以＝，即＝，

求得MN＝，

所以S△AMN＝AN·MN＝t·＝2，

化簡得3t2－3t＋14＝0，△＝(3)2－4×3×14＝－15＜0，此方程無解，

所以此情況不存在．

綜上所述，當點N在AC上，點M與點B重合時，tan∠MAN＝4；

當點N在AC上，點M不與點B重合時，tan∠MAN＝1；

當點N在BC上時，tan∠MAN＝．…………………………10分

注：解答題用其它方法解答參照給分．    

知識點：各地中考

題型：綜合題