在平面直角座標系中，將二次函數的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交...

問題詳情：

在平面直角座標系中，將二次函數的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交於點、(點在點的左側)，，經過點的一次函數的圖象與軸正半軸交於點，且與拋物線的另一個交點為，的面積為5．

(1)求拋物線和一次函數的解析式；

(2)拋物線上的動點在一次函數的圖象下方，求面積的最大值，並求出此時點E的座標；

(3)若點為軸上任意一點，在(2)的結論下，求的最小值．

【回答】

(1)；；(2)的面積最大值是，此時點座標為；(3)的最小值是3.

【分析】

(1)先寫出平移後的拋物線解析式，再把點代入可求得的值，由的面積為5可求出點的縱座標，代入拋物線解析式可求出橫座標，由、的座標可利用待定係數法求出一次函數解析式；

(2)作軸交於，如圖，利用三角形面積公式，由構建關於E點橫座標的二次函數，然後利用二次函數的*質即可解決問題；

(3)作關於軸的對稱點，過點作於點，交軸於點，則，利用鋭角三角函數的定義可得出，此時最小，求出最小值即可．

【詳解】

解：(1)將二次函數的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線解析式為，

∵，∴點的座標為，

代入拋物線的解析式得，，∴，

∴拋物線的解析式為，即．

令，解得，，∴，

∴，

∵的面積為5，∴，∴，

代入拋物線解析式得，，解得，，∴，

設直線的解析式為，

∴，解得：，

∴直線的解析式為．

(2)過點作軸交於，如圖，設，則，

∴，

∴，，

∴當時，的面積有最大值，最大值是，此時點座標為．

(3)作關於軸的對稱點，連接交軸於點，過點作於點，交軸於點，

∵，，

∴，，∴，

∵，

∴，∴，

∵、關於軸對稱，∴，

∴，此時最小，

∵，，

∴，

∴．

∴的最小值是3．

【點睛】

主要考查了二次函數的平移和待定係數法求函數的解析式、二次函數的*質、相似三角形的判定與*質、鋭角三角函數的有關計算和利用對稱的*質求最值問題．解（1）題的關鍵是熟練掌握待定係數法和相關點的座標的求解；解（2）題的關鍵是靈活應用二次函數的*質求解；解（3）題的關鍵是作關於軸的對稱點，靈活應用對稱的*質和鋭角三角函數的知識，學會利用數形結合的思想和轉化的數學思想把求的最小值轉化為求的長度．

知識點：二次函數的圖象和*質

題型：解答題