已知數列各項為正數，且對任意，都有.（1）若，，成等差數列，求的值；（2）①求*：數列為等比數列；②若對任意，...

問題詳情：

已知數列各項為正數，且對任意，都有.

（1）若，，成等差數列，求的值；

（2）①求*：數列為等比數列；

②若對任意，都有，求數列的公比的取值範圍.

【回答】

【詳解】解：（1）因為，所以，因此，，成等比數列.

設公比為，因為，，成等差數列，

所以，即，於是，解得或，

所以或.

（2）①因為，所以，

兩式相除得，即，

由，得，

兩式相除得，即，

所以，即，，，

由（1）知，所以，，

因此數列為等比數列.

②當時，

由時，可得，所以，

因此，

所以滿足條件.

當時，

由，得，

整理得.

因為，，所以，

因此，即，

由於，因此，與任意恆成立相矛盾，

所以不滿足條件.

綜上，公比的取值範圍為.

【點睛】本題主要考查等差數列的*質和等比數列的*，考查數列的求和數列不等式的恆成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

知識點：數列

題型：解答題