.已知數列是遞減的等差數列，的前項和是，且，有以下四個結論：①；②若對任意都有成立，則的值等於7或8時；③存在...

問題詳情：

.已知數列是遞減的等差數列，的前項和是，且，有以下四個結論：

①；

②若對任意都有成立，則的值等於7或8時；

③存在正整數，使；

④存在正整數，使．

其中所有正確結論的序號是

A. ①②                                       B. ①②③

C. ②③④                                     D. ①②③④

【回答】

D

【解析】

【分析】

由S6=S9，得到a7+a8+a9=0，利用等差數列的*質化簡，得到a8=0，進而得到選項①正確；再由數列{an}是遞減的等差數列以及a8=0，可得出當n等於7或8時，sn取最大值，選項②正確；利用等差數列的前n項和公式表示出S15，利用等差數列的*質化簡後，將a8的值代入可得出S15=0，故存在正整數k，使Sk=0，選項③正確；當m=5時，表示出S10-S5，利用等差數列的*質化簡後，將a8=0代入可得出S10-S5=0，即S10=S5 ，故存在正整數m，使Sm=S2m，選項④正確．

【詳解】，，

由等差數列的*質，可得，，故結論①正確；

數列是遞減的等差數列，，

當的值等於7或8時，取得最大值，故結論②正確；

又，則，存在正整數時，使，故結論③正確；

由等差數列的*質，可得，

存在正整數，使，故結論④正確．

故所有正確結論的序號是①②③④．故選D．

知識點：數列

題型：選擇題