問題詳情：
已知
，且不等式
對任意的
恆成立.
(Ⅰ) 求
與
的關係；
(Ⅱ) 若數列
滿足：
，
，
為數列
的前
項和.求*：
；
(Ⅲ) 若在數列
中，
，
為數列
的前
項和.求*：
.
【回答】
【詳解】(Ⅰ) 由題意，令
，可得
，
由不等式
對任意的
恆成立，即不等式
對任意的
恆成立，
所以函數
在
處取得最大值，也是極大值，
因為
，所以
，所以
，
又因為
，所以函數
在
處取得極大值，符合題意，
所以正數
的關係為
。
(Ⅱ) 由（Ⅰ）令
，不等式
對任意的
恆成立，
所以
，即
又由
，
所以數列
的前
項和
，
又由
，所以
，即
成立。
(Ⅲ) 由數列
中，
，
為數列
的前
項和，所以
，
令
，則
，
當
時，
，則
在
單調遞減，
當
時，
，則
在
單調遞增，
所以當
，函數取得最小值，最小值為
，即
恆成立，
即
成立，即
恆成立，若且唯若
取等號，
令
，所以
，即
成立，
所以
所以
，
即
【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的*，着重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對於恆成立問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調*，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值範圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
知識點：數列
題型：解答題
國文精選館
