如圖①,在平面直角座標系中,有一張矩形紙片OABC,已知O(0,0),A(8,0),C(0,4),點P是OA邊...

問題詳情：

如圖①,在平面直角座標系中,有一張矩形紙片OABC,已知O(0,0),A(8,0),C(0,4),點P是OA邊上的動點(與點O、A不重合),將△PAB沿PB翻折,得到△PDB, (Ⅰ)如圖①,當∠BPA=30°時,求點D的座標; (Ⅱ)現在OC邊上選取適當的點E,再將△POE沿PE翻折,得到△PEF.並使直線PD、PF重合.如圖②,設P(x,0),E(0,y),求y關於x的函數關係式,並求y的最大值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當點F恰好落在邊CB上時,求點P的座標.(直接寫出結果即可).

            第7題圖

【回答】

解:(Ⅰ)如解圖①,過點D作x軸的垂線,垂足為點Q, 根據題意,在Rt△PAB中,∠PAB=90°,∠BPA=30°,

AB=4,PB=8,AP=4, 在Rt△PBD中,由題意得∠PDB=90°,∠DPA=2∠BPA

=60°,∠PDQ=30°, 所以PQ=PA=2=AQ, DQ=PQ×=2×=6, OQ=8－AQ=8－2, 所以D點的座標為(8－2,6) (Ⅱ)如解圖②,由已知得PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且BP,PE垂直,則∠BPE=90°, ∴∠OPE＋∠APB═90°, 又∵∠APB＋∠ABP=90°, ∴∠OPE=∠PBA, ∴Rt△POE∽Rt△BAP, ∴,即, ∴y=x(8－x)=－x2＋2x=－(x－4)2＋4,(0＜x＜8) 且當x=4時,y有最大值為4; (Ⅲ)P點的座標為(4,0),(,0), 過點P作PN⊥CB於點N,如解圖②, ∴∠ECF=∠FNP=90°, ∴∠CEF＋∠EFC=90°, ∵∠EFC＋∠PFN=90° ∴∠CEF=∠PFN, ∴△CEF∽△NFP, ∴,CF===2, ∴,

即2y－4=, 將y=－x2＋2x代入得:8(－x2＋2x)－16=x2－16x＋64, 整理得3x2－32x＋80=0, 解得x1=4,x2=, ∴P點的座標為(4,0),(,0).

     圖①             圖②

           第7題解圖

知識點：相似三角形

題型：解答題