如圖，在平面直角座標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA．

（1）請用含t的代數式表示出點D的座標；

（2）求t為何值時，△DPA的面積最大，最大為多少？

（3）在點P從O向A運動的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請説明理由；

（4）請直接寫出隨着點P的運動，點D運動路線的長．

【回答】

 【解答】解：（1）∵點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，

∴OP=t，而OC=2，

∴P（t，0），

設CP的中點為F，過D點作DE⊥OA，垂足為E，

則F點的座標為（，1），

∵F點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，

∴∠CPD=90°，

∴∠DPE+∠OPC=90°，

又∵∠POC=90°，∠OCP+∠OPC=90°，

∴∠OCP=∠EPD，

∴△OCP∽△EPD，

∵PD：CP=1：2，

∴DE：PO=PE：CO=PD：CP=1：2，

∴DE=PO=，PE=CO=1，

∴D點座標為（t+1，）；

（2）∵D點座標為（t+1，），OA=4，

∴S△DPA=AP×=（4﹣t）×=（4t﹣t2）=﹣（t﹣2）2+1，

∴當t=2時，S最大=1；

（3）能構成直角三角形．

①當∠PDA=90°時，PC∥AD，

由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，PD2=DE2+PE2，AD2=DE2+AE2，

即（）2+1+（4﹣t﹣1）2+（）2=（4﹣t）2，

解得，t=2或t=﹣6（捨去）．

∴t=2秒．

②當∠PAD=90°時，此時點D在AB上，

可知，△COP∽△PAD，

∴==，

∴2=，

PA=1，

即t+1=4，t=3秒．

綜上，可知當t為2秒或3秒時，△DPA能成為直角三角形．

（4）當點P在原點O處時，即t=0，對應的D0點為（1，0），

當點D運動時，直線DD0的斜率k==，即無論點D如何運動，直線DD0的斜率為固定值，

即點D的運動軌跡時始終在直線DD0上；

∵kOB==，

∴點D的運動路線與OB平行，

當P運動到點A時，t=4，此時D4點座標為（5，2），

即點D的運動軌跡為線段D0D4

∵點D4與點B、C共線，

∴BD4∥x軸

易得四邊形OD0D4B為平行四邊形，

∵根據點D的運動路線與OB平行且相等，OB=2，

∴點D運動路線的長為2．

知識點：相似三角形

題型：綜合題