在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC於點D，點E為AB的中點，EC與AD交於點G，點F在BC上．（1）如...

問題詳情：

在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC於點D，點E為AB的中點，EC與AD交於點G，點F在BC上．

（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求*：EF=CD．

（2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

【回答】

【考點】S9：相似三角形的判定與*質；KD：全等三角形的判定與*質．

【分析】（1）根據同角的餘角相等得出∠CAD=∠B，根據AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS*△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；

（2）作EH⊥AD於H，EQ⊥BC於Q，先*四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應相等的兩三角形相似*△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然後在△BEQ中，根據正弦函數的定義得出EQ=BE，在△AEH中，根據餘弦函數的定義得出EH=AE，又BE=AE，進而求出EF：EG的值．

【解答】（1）*：如圖1，

在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC於點D，

∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．

∵AC：AB=1：2，

∴AB=2AC，

∵點E為AB的中點，

∴AB=2BE，

∴AC=BE．

在△ACD與△BEF中，

，

∴△ACD≌△BEF，

∴CD=EF，即EF=CD；

（2）解：如圖2，作EH⊥AD於H，EQ⊥BC於Q，

∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，

∴四邊形EQDH是矩形，

∴∠QEH=90°，

∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，

又∵∠EQF=∠EHG=90°，

∴△EFQ∽△EGH，

∴EF：EG=EQ：EH．

∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，

∴∠B=30°．

在△BEQ中，∵∠BQE=90°，

∴sinB==，

∴EQ=BE．

在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，

∴cos∠AEH==，

∴EH=AE．

∵點E為AB的中點，

∴BE=AE，

∴EF：EG=EQ：EH=BE： AE=1： =：3．

知識點：相似三角形

題型：解答題