已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是過點A的直線，過點D作DB⊥MN於點B，連接CB．（1）問題發現如圖（...

問題詳情：

已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是過點A的直線，過點D作DB⊥MN於點B，連接CB．

（1）問題發現 如圖（1），過點C作CE⊥CB，與MN交於點E，則易發現BD和EA之間的數量關係為________，BD、AB、CB之間的數量關係為________．   

（2）拓展探究 當MN繞點A旋轉到如圖（2）位置時，BD、AB、CB之間滿足怎樣的數量關係？請寫出你的猜想，並給予*．

（3）解決問題 當MN繞點A旋轉到如圖（3）位置時（點C、D在直線MN兩側），若此時∠BCD=30°，BD=2時，CB=________．

【回答】

（1）BD=AE；BD+AB= CB （2）解：*：如圖2，過點C作⊥CB交MN於點E， ∵∠ACD=90°， ∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB， ∴∠ACE=∠BCD， ∵DB⊥MN， ∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD， ∵∠AFB=∠CFD， ∴∠CAE=∠D， ∵AC=DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=DB，CE=CB， ∵∠ECB=90°， ∴△ECB是等腰直角三角形， ∴BE= CB， ∴BE=AE﹣AB=DB﹣AB， ∴BD﹣AB= CB； （3）﹣ 【考點】全等三角形的判定與*質，等腰三角形的判定與*質，勾股定理，解直角三角形，旋轉的*質                【解析】【解答】解：（1）如圖1，過點C作⊥CB交MN於點E， ∵∠ACD=90°， ∴∠ACE=90°﹣∠ACB，∠BCD=90°﹣∠ACB， ∴∠ACE=∠BCD， ∵DB⊥MN， ∴在四邊形ACDB中，∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°， ∴∠BAC+∠D=180°， ∵∠CE+∠BAC=180°， ∠CAE=∠D， ∵AC=DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=DB，CE=CB， ∵∠ECB=90°， ∴△ECB是等腰直角三角形， ∴BE= CB， ∴BE=AE+AB=DB+AB， ∴BD+AB= CB； 故*為：BD=AE，BD+AB= CB；（3）如圖3，過點C作⊥CB交MN於點E， （3）∵∠ACD=90°， ∴∠ACE=90°﹣∠DCE， ∠BCD=90°﹣∠DCE， ∴∠ACE=∠BCD， ∵DB⊥MN， ∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠CFD， ∵∠AFB=∠BFD， ∴∠CAE=∠D， ∵AC=DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=DB，CE=CB， ∵∠ECB=90°， ∴△ECB是等腰直角三角形， ∴BE= CB， ∴BE=AB﹣AE=AB﹣DB， ∴AB﹣DB= CB； ∵△BCE為等腰直角三角形， ∴∠BEC=∠CBE=45°， ∵∠ABD=90°， ∴∠DBH=45° 過點D作DH⊥BC， ∴△DHB是等腰直角三角形， ∴BD= BH=2， ∴BH=DH= ， 在Rt△CDH中，∠BCD=30°，DH= ， ∴CH= DH= × = ， ∴BC=CH﹣BH= ﹣ ； 故*為： ﹣ ． 【分析】（1）過點C作⊥CB交MN於點E，易*得∠ACE=∠BCD，根據四邊形的內角和定理及同角的補角相等，得出∠CAE=∠D，就可以*得ACE≌△DCB，根據全等三角形的*質得出BD=AE，從而得到△ECB是等腰直角三角形，即可得到BD、AB、CB之間的數量關係。 （2）過點C作⊥CB交MN於點E，先*△ACE≌△DCB，得出AE=DB，CE=CB，由∠ECB=90°，得出△ECB是等腰直角三角形，根據勾股定理易*得結論。 （3）先*△ACE≌△DCB，再*△ECB是等腰直角三角形，△BCE為等腰直角三角形，求得BH、DH的長，在Rt△CDH中，根據勾股定理求出CH、BC的長即可。   

知識點：勾股定理

題型：解答題