如圖1，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，D為OB邊上一點，過D點作DC⊥AB交AB於C，連接A...

問題詳情：

如圖1，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，D為OB邊上一點，過D點作DC⊥AB交AB於C，連接AD，E為AD的中點，連接OE、CE．

觀察猜想

（1）①OE與CE的數量關係是　   　；

②∠OEC與∠OAB的數量關係是　   　；

類比探究

（2）將圖1中△BCD繞點B逆時針旋轉45°，如圖2所示，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出*；若不成立，請説明理由；

拓展遷移

（3）將△BCD繞點B旋轉任意角度，若BD＝，OB＝3，請直接寫出點O、C、B在同一條直線上時OE的長．

【回答】

【解答】（1）①如圖1中，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD＝90°，

∵∠AOD＝90°，AE＝DE，

∴OE＝AD，EC＝AD，

∴OE＝EC．

②∵EO＝EA，EC＝EA，

∴∠EAO＝∠EOA，∠EAC＝∠ECA，

∵∠OED＝∠EAO+∠EOA＝2∠EAO，∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝2∠EAC，

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝45°，

∴∠OEC＝2（∠OAE+∠EAC）＝90°，

∴∠OEC＝2∠OAB，

故*為OE＝EC，∠OEC＝2∠OAB．

（2）結論成立．

理由：如圖2中，延長OE到H，使得EH＝OE，連接DH，CH，OC．

由題意△AOB，△BCD都是等腰直角三角形，

∴∠A＝∠ABO＝∠DBC＝∠CDB＝45°，

∵AE＝ED，∠AEO＝∠DEH，OE＝EH，

∴△AEO≌△DEH（SAS），

∴AO＝DH，∠A＝∠EDH＝45°，

∴∠CDH＝∠OBC＝90°，

∵OA＝OB，BC＝CD，

∴DH＝OB，

∴△HDC≌△OBC（SAS），

∴CH＝OC，∠HCD＝∠OCB，

∴∠HCO＝∠DCB＝90°，

∴∠COE＝∠CHE＝45°，

∵OE＝EH，

∴CE⊥OE，

∴∠OEC＝90°，

∴∠OEC＝2∠OAB，OE＝EC．

（3）①如圖3﹣1中，當點C落在OB上時，連接EC．

由（1）（2）可知△OEC是等腰直角三角形，

∵BC＝BD＝1，OB＝3，

∴OC＝OB﹣BC＝3﹣1＝2，

∴OE＝OC＝．

②如圖3﹣2中，當點C落在OB的延長線上時，連接EC．同法可得OE＝OC＝（3+1）＝2，

綜上所述，OE的長為或2．

知識點：圖形的旋轉

題型：綜合題