已知數列，從中選取第項、第項、…、第項，若，則稱新數列為的長度為的遞增子列．規定：數列的任意一項都是的長度為1...

問題詳情：

已知數列，從中選取第項、第項、…、第項，若，則稱新數列為的長度為的遞增子列．規定：數列的任意一項都是的長度為1的遞增子列．

（Ⅰ）寫出數列1，8，3，7，5，6，9的一個長度為4的遞增子列；

（Ⅱ）已知數列的長度為的遞增子列的末項的最小值為，長度為的遞增子列的末項的最小值為.若，求*： ；

（Ⅲ）設無窮數列的各項均為正整數，且任意兩項均不相等.若的長度為的遞增子列末項的最小值為，且長度為末項為的遞增子列恰有個，求數列的通項公式．

【回答】

(Ⅰ) 1,3,5,6；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ)見解析.

【分析】

(Ⅰ)由題意結合新定義的知識給出一個滿足題意的遞增子列即可；

(Ⅱ)利用數列的*質和遞增子列的定義*題中的結論即可；

(Ⅲ)觀察所要求解數列的特徵給出一個滿足題意的通項公式，然後*通項公式滿足題中所有的條件即可.

【詳解】

(Ⅰ)滿足題意的一個長度為4的遞增子列為：1,3,5,6.

(Ⅱ)對於每一個長度為的遞增子列，都能從其中找到若干個長度為的遞增子列，此時，

設所有長度為的子列的末項分別為：，

所有長度為的子列的末項分別為：，

則，

注意到長度為的子列可能無法進一步找到長度為的子列，

故，

據此可得：.

(Ⅲ)滿足題意的一個數列的通項公式可以是，

下面説明此數列滿足題意.

很明顯數列為無窮數列，且各項均為正整數，任意兩項均不相等.

長度為的遞增子列末項的最小值為2s-1，

下面用數學歸納法*長度為s末項為2s-1的遞增子列恰有個：

當時命題顯然成立，

假設當時命題成立，即長度為k末項為2k-1的遞增子列恰有個，

則當時，對於時得到的每一個子列，

可構造：和兩個滿足題意的遞增子列，

則長度為k+1末項為2k+1的遞增子列恰有個，

綜上可得，數列是一個滿足題意的數列的通項公式.

注：當時，所有滿足題意的數列為：，

當時，數列對應的兩個遞增子列為：和.

【點睛】

“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然後根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助於對新定義的透徹理解.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以説“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.

知識點：推理與*

題型：解答題