設數列的首項為1，前n項和為，若對任意的，均有（k是常數且）成立，則稱數列為“數列”．（1）若數列為“數列”，...

問題詳情：

設數列的首項為1，前n項和為，若對任意的，均有（k是常數且）成立，則稱數列為“數列”．

（1）若數列為“數列”，求數列的通項公式；

（2）是否存在數列既是“數列”，也是“數列”？若存在，求出符合條件的數列的通項公式及對應的k的值；若不存在，請説明理由；

（3）若數列為“數列”，，設，*：．

【回答】

（1）；（2）不存在；（3）*見解析.

【解析】

試題分析：

（1）由題意得，故，兩式相減可得，在此基礎上可得數列為等比數列，從而可得通項公式．（2）利用反*法可得不存在這樣的數列既是“數列”，也是“數列”．（3）由數列為“數列”，可得到對任意正整數恆成立，於是可得，然後根據錯位相減法求得，故得，故，即，即結論成立．

試題解析：

（1）因為數列為“數列”，

則

故，

兩式相減得：，

又時，，

所以，

故對任意的恆成立，即（常數），

故數列為等比數列，其通項公式為.

（2）假設存在這樣的數列，則有，故有

兩式相減得：，

故有，

同理由是“數列”可得，

所以對任意恆成立．

所以，

即，

又，

即，

兩者矛盾，故不存在這樣的數列既是“數列”，也是“數列”．

（3）因為數列為“數列”，

所以，

所以，

故有，，

又時，，

故，滿足，

所以對任意正整數恆成立，數列的前幾項為：．

故，

所以，

兩式相減得  ，

顯然，

故，

即.

點睛：

（1）本題屬於新概念問題，解題時要從所給出的概念出發，得到相應的結論，然後再借助於數列的有關知識得到相應的結論．

（2）對於存在*問題的解法，可利用反*法求解，解題時在假設的基礎上得到矛盾是解題的關鍵，通過否定假設可得原結論不成立．

知識點：數列

題型：解答題