如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那麼稱這個正整數為“神祕數”．如：4=22﹣02，12=42﹣22...

問題詳情：

如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那麼稱這個正整數為“神祕數”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神祕數”

(1)28和2012這兩個數是“神祕數”嗎？為什麼？

(2)設兩個連續偶數為2k+2和2k(其中k取非負整數)，由這兩個連續偶數構造的神祕數是4的倍數嗎？為什麼？

(3)兩個連續奇數的平方差(k取正數)是神祕數嗎？為什麼？

【回答】

(1)28和2012是神祕數（2）是4的倍數（3）8k不能整除8k+4

【分析】

（1）根據“神祕數”的定義，設這兩個連續偶數分別為2m，2m+2，列方程求出m的值即可得*；（2）根據“神祕數”的定義可知(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，即可得*；（3）由（2）可知“神祕數”是4的倍數，但一定不是8的倍數，而連續兩個奇數的平方差一定是8的倍數，即可得*.

【詳解】

（1）設設這兩個連續偶數分別為2m，2m+2，則根據題意得：

(2m+2)2-(2m)2=28，

8m+4=28，

m=3，

∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，

∴28是“神祕數”.

(2m+2)2-(2m)2=2012，

8m+4=2012，

m=501，

∴2m=1002

∴2012是“神祕數”.

（2）是；理由如下：

∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，

∴由這兩個連續偶數構造的神祕數是4的倍數.

（3）由（2）可知“神祕數”可表示為4(2n-1)，

∵2n-1是奇數，

∴4(2n-1)是4的倍數，但一定不是8的倍數，

設兩個連續的奇數為2n-1和2n+1，

則(2n+1)2-(2n-1)2=8n.

∴連續兩個奇數的平方差是8的倍數，

∴連續兩個奇數的平方差不是“神祕數”.

【點睛】

本題首先考查了閲讀能力、探究推理能力．對知識點的考查，主要是平方差公式的靈活應用

知識點：乘法公式

題型：解答題