問題詳情:
如圖,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠BAD=60°.動點E、F分別從點B、D同時出發,以1cm/s的速度向點A、C運動,連接AF、CE,取AF、CE的中點G、H,連接GE、FH.設運動的時間為ts(0<t<4).
(1)求*:AF∥CE;
(2)當t為何值時,四邊形EHFG為菱形;
(3)試探究:是否存在某個時刻t,使四邊形EHFG為矩形,若存在,求出t的值,若不存在,請説明理由.
【回答】
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)根據菱形的*質得到∠B=∠D,AD=BC,AB∥DC,推出△ADF≌△CBE,根據全等三角形的*質得到∠DFA=∠BEC,根據平行線的判定定理即可得到結論;
(2)過D作DM⊥AB於M,連接GH,EF,推出四邊形AECF是平行四邊形,根據菱形的判定定理即可得到四邊形EGFH是菱形,*得四邊形DMEF是矩形,於是得到ME=DF=t列方程即可得到結論;
(3)不存在,假設存在某個時刻t,使四邊形EHFG為矩形,根據矩形的*質列方程即可得到結果.
【解答】(1)*:
∵動點E、F同時運動且速度相等,
∴DF=BE,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AD=BC,AB∥DC,
在△ADF與△CBE中,,
∴△ADF≌△CBE,
∴∠DFA=∠BEC,
∵AB∥DC,
∴∠DFA=∠FAB,
∴∠FAB=∠BEC,
∴AF∥CE;
(2)過D作DM⊥AB於M,連接GH,EF,
∴DF=BE=t,
∵AF∥CE,AB∥CD,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
∵G、H是AF、CE的中點,
∴GH∥AB,
∵四邊形EGFH是菱形,
∴GH⊥EF,
∴EF⊥AB,∠FEM=90°,
∵DM⊥AB,
∴DM∥EF,
∴四邊形DMEF是矩形,
∴ME=DF=t,
∵AD=4,∠DAB=60°,DM⊥AB,
∴AM=AD=2,
∴BE=4﹣2﹣t=t,
∴t=1,
(3)不存在,假設存在某個時刻t,使四邊形EHFG為矩形,
∵四邊形EHFG為矩形,
∴EF=GH,
∴EF2=GH2,
即(2﹣2t)2+(2)2=(4﹣t)2,
解得t=0,0<t<4,
∴與原題設矛盾,
∴不存在某個時刻t,使四邊形EHFG為矩形.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題