如圖，直三稜柱ABC―A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝，側稜AA1＝1，側面AA1B1B的兩...

問題詳情：

如圖，直三稜柱ABC―A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝，側稜AA1＝1，側面AA1B1B的兩條對角線交點為D，B1C1的中點為M.

（Ⅰ）求*CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B1BD與面CBD所成二面角的大小.

【回答】

本小題主要考查線面關係和直稜柱等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力.

  解法一：（Ⅰ）如圖，連結CAACCM，則CA1=.

∵CB=CA1=,

∴△CBA1為等腰三角形，

又知D為其底邊A1B的中點，

∴CD⊥A1B.

∵A1C1=1,C1B1=,

∴A1B1=，

又BB1＝1，∴A1B＝2.

∵△A1CB為直角三角形，

D為A1B的中點，

∴CD=A1B=1,CD=CC1.

又DM=AC1=,DM=C1M,

∴△CDM≌△CC1M,

∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.

因為A1B、DM為平面BDM內兩條相交直線，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）設F、G分別為BC、BD的中點，連結B1G、FG、B1F，則

FG∥CD，FG=CD.

∴FG=,FG⊥BD.

由側面矩形BB1A1A的對角線的交點為D，

知BD=B1D=A1B=1，

所以△BB1D是邊長為1的正三角形，

於是B1G⊥BD,B1G=

∴∠B1GF是所求二面角的平面角.

又B1F2=B1B2+BF2=1+（）2=

∴cosB1GF==.

即所求二面角的大小為π－arccos

解法二：如圖，以C為原點建立座標系.

（Ⅱ）B（,0,0）,B1（,1,0）,A1（0,1,1）,D（,,）,M（,1,0）,

=（,,）, =（,－1,－1）,

=（0, ,－）,

則・=0,・=0,

∴CD⊥A1B,CD⊥DM.

因為A1B、DM為平面BDM內兩條相交直線，

所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）設BD中點為G，連結B1G，則G（,,）,

=（－,,）, =（－,－,）,

∴・=0.∴BD⊥B1G.

又CD⊥BD，

∴與的夾角θ等於所求二面角的平面角.

cosθ==－.

所以所求二面角的大小等於π－arccos.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：計算題