如圖，在直三稜柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥側面BB1C1C，AB1與A1B相交於點D，E是CC1上的點，且...

問題詳情：

如圖，在直三稜柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥側面BB1C1C，AB1與A1B相交於點D，E是CC1上的點，且DE∥平面ABC，BC=1，BB1=2．

（Ⅰ）*：B1E⊥平面ABE

（Ⅱ）若異面直線AB和A1C1所成角的正切值為，求二面角A﹣B1E﹣A1的餘弦值．

【回答】

【考點】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）推導出B1E⊥AB，BE⊥B1E，由此能*B1E⊥平面ABE．

（Ⅱ）由AC∥A1C1，知∠BAC（或∠BAC的補角）是異面直線AB和A1C1所成角，以B為原點，BC為x軸，BB1為y軸，BA為z軸，建立空間直角座標系，利用向量法能求出二面角A﹣B1E﹣A1的餘弦值．

【解答】*：（Ⅰ）∵在直三稜柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥側面BB1C1C，B1E⊂面BB1C1C，

∴B1E⊥AB，

∵AB1與A1B相交於點D，∴D是AB1的中點，

取BB1中點O，連結DO，EO，則DO∥平面ABC，

∵DE∥平面ABC，DE∩DO=D，

∴平面DEO∥平面ABC，

∴OE∥BC，∴E是CC1的中點，

∴BE=B1E==，

∴BE2+B1E2=BB12，∴BE⊥B1E，

∵BE∩AB=B，∴B1E⊥平面ABE．

解：（Ⅱ）∵AC∥A1C1，

∴∠BAC（或∠BAC的補角）是異面直線AB和A1C1所成角，

∵在直三稜柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥側面BB1C1C，

∴AB⊥BC，∵異面直線AB和A1C1所成角的正切值為，

∴tan=，

∵BC=1，BB1=2，∴AB=，

以B為原點，BC為x軸，BB1為y軸，BA為z軸，建立空間直角座標系，

E（1，1，0），A（0，0，），B1（0，2，0），A1（0，2，），

=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，1，0），=（﹣1，1，），

設平面AB1E的法向量=（x，y，z），

則，取x=，得=（，2），

設平面A1B1E的法向量=（a，b，c），

則，取a=1，得=（1，1，0），

設二面角A﹣B1E﹣A1的平面角為θ，

則cosθ===．

∴二面角A﹣B1E﹣A1的餘弦值為．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題