問題詳情:
如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,CC1=5,E是稜CC1上不同於端點的點,且=λ.
(1) 當∠BEA1為鈍角時,求實數λ的取值範圍;
(2) 若λ=,記二面角B1-A1B-E的的大小為θ,求|cosθ|.
【回答】
解:(1)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立如圖所示的空間直角座標系.
由題設,知B(2,3,0),A1(2,0,5),C(0,3,0),C1(0,3,5).
因為=λ,所以E(0,3,5λ).
從而=(2,0,-5λ),=(2,-3,5-5λ).…… 2分
當∠BEA1為鈍角時,cos∠BEA1<0,
所以·<0,即2×2-5λ(5-5λ)<0,
解得<λ<.
即實數λ的取值範圍是(,). …………………………………… 5分
(2)當λ=時,=(2,0,-2),=(2,-3,3).
設平面BEA1的一個法向量為n1=(x,y,z),
由 得
取x=1,得y=,z=1,
所以平面BEA1的一個法向量為n1=(1,,1). ………………………………… 7分
易知,平面BA1B1的一個法向量為n2=(1,0,0).
因為cos< n1,n2>===,
從而|cosθ|=.
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:解答題