如圖1­3所示，在四稜柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝...

問題詳情：

如圖1­3所示，在四稜柱ABCD ­A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是線段AB的中點．

圖1­3

(1)求*：C1M∥平面A1ADD1；

(2)若CD1垂直於平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(鋭角)的餘弦值．

【回答】

解：(1)*：因為四邊形ABCD是等腰梯形，

且AB＝2CD，所以AB∥DC，

又M是AB的中點，

所以CD∥MA且CD＝MA.

連接AD1.因為在四稜柱ABCD ­ A1B1C1D1中，

CD∥C1D1，CD＝C1D1，

所以C1D1∥MA，C1D1＝MA，

所以四邊形AMC1D1為平行四邊形，

因此，C1M∥D1A.

又C1M⊄平面A1ADD1，D1A⊂平面A1ADD1，

所以C1M∥平面A1ADD1.

(2)方法一：連接AC，MC.

由(1)知，CD∥AM且CD＝AM，

所以四邊形AMCD為平行四邊形，

所以BC＝AD＝MC.

由題意∠ABC＝∠DAB＝60°，

所以△MBC為正三角形，

因此AB＝2BC＝2，CA＝，

因此CA⊥CB.

設C為座標原點，建立如圖所示的空間直角座標系C ­ xyz.

所以A(，0，0)，B(0，1，0)，D1(0，0，)．

因此M，

所以＝，＝＝.

設平面C1D1M的一個法向量n＝(x，y，z)，

由得

可得平面C1D1M的一個法向量n＝(1，，1)．

又＝(0，0，)為平面ABCD的一個法向量．

因此cos〈，n〉＝＝，

所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(鋭角)的餘弦值為.

方法二：由(1)知，平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，點過C向AB引垂線交AB於點N，連接D1N.

由CD1⊥平面ABCD，可得D1N⊥AB，

因此∠D1NC為二面角C1 ­ AB ­ C的平面角．

在Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°，

可得CN＝，

所以ND1＝＝.

在Rt△D1CN中，cos∠D1NC＝＝＝，

所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(鋭角)的餘弦值為.

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題