已知橢圓內有一點P（2，1）,過點P作直線交橢圓於          A、B兩點。(1).若弦AB恰好被點P平...

問題詳情：

已知橢圓內有一點P（2，1）,過點P作直線交橢圓於

           A、B兩點。

(1).若弦AB恰好被點P平分，求直線AB的方程；

(2).當原點O到直線AB的距離取最大值時，求△AOB的面積。

【回答】

解：(1).設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k

   由A、B在橢圓上，得                    

  又∵  P（2，1）是AB的中點 ，  ∴       ……….…2分 

   由①－② 得   

      ∴    k==－                       …………...….4分

     ∴    直線AB的方程為y－1=－(x－2) 即  8x+9y－25=0 ；……6分

  (2).當原點O到直線AB的距離取最大值時  OP⊥AB

     ∵   kOP=              ∴  kAB=－2

     ∴    直線AB的方程為 y－1=－2(x－2)  即  2x+y-5=0   ……8分

聯立方程組   得 40x2-180x+189=0 

設A(x1,y1),B(x2,y2), 則  

 ∴   |AB|==…………………10分

 ∴   S△AOB=|OP||AB|= 。  …………………………12分               

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題