設數列的各項均為不等的正整數，其前項和為，我們稱滿足條件“對任意的，均有”的數列為“好”數列．（1）試分別判斷...

問題詳情：

設數列的各項均為不等的正整數，其前項和為，我們稱滿足條件“對任意的

，均有”的數列為“好”數列．

（1）試分別判斷數列，是否為“好”數列，其中，，，並給出*；

（2）已知數列為“好”數列．

 ① 若，求數列的通項公式；

② 若，且對任意給定正整數（），有成等比數列，

求*：．

【回答】

而，

所以對任意的均成立，

即數列是“好”數列；                                         …… 2分

若，取，

則，，

此時，

即數列不是“好”數列．                                       …… 4分

（2）因為數列為“好”數列，取，則

，即恆成立．

當，有，

兩式相減，得（），

即（），

所以（），

所以，

即，即（），

當時，有，即，

所以對任意，恆成立，

所以數列是等差數列．                                          …… 8分

設數列的公差為，

① 若，則，即，

因為數列的各項均為不等的正整數，所以，

所以，，所以．                                 …… 12分

② 若，則，

由成等比數列，得，所以，

即

化簡得，，

即．                                                …… 14分

因為是任意給定正整數，要使，必須，

不妨設，由於是任意給定正整數，

所以．                         …… 16分

知識點：數列

題型：解答題