已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．(1)求拋物...

問題詳情：

已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．

(1) 求拋物線的方程；

(2) 當點為直線上的定點時，求直線的方程；

(3) 當點在直線上移動時，求的最小值．

【回答】

 解：（1）依題意，設拋物線的方程為，由結合，

解得，所以拋物線的方程為.

（2）拋物線的方程為，即，求導得，

設(其中)則切線的斜率分別為，

所以切線的方程為，即，即，

同理可得切線的方程為，

因為切線均過點，所以，，

所以為方程的兩組解，

所以直線的方程為.

（3）由拋物線定義可知，

聯立方程，消去整理得.

由一元二次方程根與係數的關係可得，

所以

又點在直線上，所以，

所以，

所以當時，取得最小值,且取得最小值為.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題