問題詳情:
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,點P是△ABC內一點,且∠PAC+∠PCA=,連接PB,試探究PA、PB、PC滿足的等量關係.
(1)當α=60°時,將△ABP繞點A逆時針旋轉60°得到△ACP′,連接PP′,如圖1所示.由△ABP≌△ACP′可以*得△APP′是等邊三角形,再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小為 度,進而得到△CPP′是直角三角形,這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關係為 ;
(2)如圖2,當α=120°時,參考(1)中的方法,探究PA、PB、PC滿足的等量關係,並給出*;
(3)PA、PB、PC滿足的等量關係為 .
【回答】
解:(1)∵△ABP≌△ACP′,
∴AP=AP′,
由旋轉變換的*質可知,∠PAP′=60°,P′C=PB,
∴△PAP′為等邊三角形,
∴∠APP′=60°,
∵∠PAC+∠PCA==30°,
∴∠APC=150°,
∴∠P′PC=90°,
∴PP′2+PC2=P′C2,
∴PA2+PC2=PB2,
故*為:150,PA2+PC2=PB2;
(2)如圖2,作將△ABP繞點A逆時針旋轉120°得到△ACP′,連接PP′,
作AD⊥PP′於D,
由旋轉變換的*質可知,∠PAP′=120°,P′C=PB,
∴∠APP′=30°,
∵∵∠PAC+∠PCA==60°,
∴∠APC=120°,
∴∠P′PC=90°,
∴PP′2+PC2=P′C2,
∵∠APP′=30°,
∴PD=PA,
∴PP′=PA,
∴3PA2+PC2=PB2;
(3)如圖2,與(2)的方法類似,
作將△ABP繞點A逆時針旋轉α得到△ACP′,連接PP′,
作AD⊥PP′於D,
由旋轉變換的*質可知,∠PAP′=α,P′C=PB,
∴∠APP′=90°﹣,
∵∵∠PAC+∠PCA=,
∴∠APC=180°﹣,
∴∠P′PC=(180°﹣)﹣(90°﹣)=90°,
∴PP′2+PC2=P′C2,
∵∠APP′=90°﹣,
∴PD=PA•cos(90°﹣)=PA•sin,
∴PP′=2PA•sin,
∴4PA2sin2+PC2=PB2,
故*為:4PA2sin2+PC2=PB2.
知識點:勾股定理
題型:綜合題