在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時...

問題詳情：

在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP．

（1）觀察猜想

如圖1，當α＝60°時，的值是　 　，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是　 °　．

（2）類比探究

如圖2，當α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數，並就圖2的情形説明理由．

（3）解決問題

當α＝90°時，若點E，F分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．

【回答】

【分析】（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線於E，設AB交EC於點O．*△CAP≌△BAD（SAS），即可解決問題．

（2）如圖2中，設BD交AC於點O，BD交PC於點E．*△DAB∽△PAC，即可解決問題．

（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線於H．*AD＝DC即可解決問題．

②如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可*：DA＝DC解決問題．

【解答】解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線於E，設AB交EC於點O．

∵∠PAD＝∠CAB＝60°，

∴∠CAP＝∠BAD，

∵CA＝BA，PA＝DA，

∴△CAP≌△BAD（SAS），

∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，

∵∠AOC＝∠BOE，

∴∠BEO＝∠CAO＝60°，

∴＝1，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是60°，

故*為1，60°．

（2）如圖2中，設BD交AC於點O，BD交PC於點E．

∵∠PAD＝∠CAB＝45°，

∴∠PAC＝∠DAB，

∵＝＝，

∴△DAB∽△PAC，

∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，

∵∠EOC＝∠AOB，

∴∠CEO＝∠OABB＝45°，

∴直線BD與直線CP相交所成的小角的度數為45°．

（3）如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線於H．

∵CE＝EA，CF＝FB，

∴EF∥AB，

∴∠EFC＝∠ABC＝45°，

∵∠PAO＝45°，

∴∠PAO＝∠OFH，

∵∠POA＝∠FOH，

∴∠H＝∠APO，

∵∠APC＝90°，EA＝EC，

∴PE＝EA＝EC，

∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，

∴∠H＝∠BAH，

∴BH＝BA，

∵∠ADP＝∠BDC＝45°，

∴∠ADB＝90°，

∴BD⊥AH，

∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，

∵∠ADB＝∠ACB＝90°，

∴A，D，C，B四點共圓，

∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，

∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，

∴DA＝DC，設AD＝a，則DC＝AD＝a，PD＝a，

∴＝＝2﹣．

如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可*：DA＝DC，設AD＝a，則CD＝AD＝a，PD＝a，

∴PC＝a﹣a，

∴＝＝2+．

【點評】本題屬於相似形綜合題，考查了旋轉變換，等邊三角形的*質，等腰直角三角形的*質，全等三角形的判定和*質，相似三角形的判定和*質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬於中考壓軸題．

知識點：各地中考

題型：綜合題