如圖所示：△ABC中，CA=CB，點D為AB上一點，∠A=∠PDQ=α．（1）如圖1，若點P、Q分別在AC、B...

問題詳情：

如圖所示：△ABC中，CA=CB，點D為AB上一點，∠A=∠PDQ=α．

（1）如圖1，若點P、Q分別在AC、BC上，AD=BD，問：DP與DQ有何數量關係？*你的結論；

（2）如圖2，若點P在AC的延長線上，點Q在BC上，AD=BD，則DP與DQ有何數量關係？如圖3，若點P、Q分別在AC、CB的延長線上，AD=BD，則DP與DQ有何數量關係？請在圖2或圖3中任選一個進行*；

（3）如圖4，若，作∠PDQ=2a，使點P在AC上，點Q在BC的延長線上，完成圖4，判斷DP與DQ的數量關係，*你的結論．

【回答】

解：（1）分兩種情況：

①當DP⊥AC，DQ⊥BC時，

∵∠A=∠B，∠APD=∠BQD=90°，AD=BD，

∴△ADP≌△BDQ，∴DP=DQ；

②當DP、AC不垂直，DQ、BC不垂直時；

如圖1，過D作DM⊥AC於M，DN⊥BC於N，由①可得DM=DN；

在四邊形CMDN中，∠DMC=∠DNC=90°，∴∠MDN+∠MCN=180°；

又∵∠MCN+2∠A=180°，∴∠MDN=∠PDQ=2∠A=2α；

∴∠PDM=∠QDN=2α﹣∠MDQ，

又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，

∴△DMP≌△DNQ，得DP=DQ；

綜合上面兩種情況，得：當點P、Q分別在AC、BC上，且AD=BD時，DP、DQ的數量關係為：相等．

（2）圖2、圖3的結論與圖1的完全相同，*法一致；以圖2為例進行説明：

圖2中，過D作DM⊥AC於M，DN⊥BC於N，則DM=DN；

同（1）可得：∠MDN=∠PDQ=2α，則∠PDM=∠QDN=2α﹣∠PDN，

又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，

∴△DMP≌△DNQ，得DP=DQ；

圖3的*法同上；

所以在圖2、圖3中，（1）的結論依然成立，即DP、DQ的數量關係為：相等．

（3）DP、DQ的數量關係為：DP=nDQ，理由如下：

如圖4，過D作DM⊥AC於M，DN⊥BC於N；

∵∠A=∠B，∠AMD=∠BND=90°，

∴△ADM∽△BDN，

∴，即AD=nBD；

同上可得：∠MDN=∠PDQ=2∠A=2α；

∴∠MDP=∠NDQ=2α+∠NDP，

又∵∠DMP=∠DNQ=90°，

∴△DMP∽△DNQ，得：，即DP=nDQ；

所以在（3）題的條件下，DP、DQ的數量關係為：DP=nDQ．

知識點：相似三角形

題型：綜合題