如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪*平均分成四塊小長方形，然後用四塊小長方形拼成的一個“回形...

問題詳情：

如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪*平均分成四塊小長方形，然後用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．

（1）圖2中的*影部分的面積為______；

（2）觀察圖2請你寫出 （a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關係是______；

（3）根據（2）中的結論，若x+y=5，x•y=，則x﹣y=______；

（4）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應的等式．如圖3，你有什麼發現？______．

【回答】

【考點】完全平方公式的幾何背景．

【分析】（1）*影部分為邊長為（b﹣a）的正方形，然後根據正方形的面積公式求解；

（2）在圖2中，大正方形有小正方形和4個矩形組成，則（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；

（3）由（2）的結論得到（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，再把x+y=5，x•y=得到（x﹣y）2=16，然後利用平方根的定義求解；

（4）觀察圖形得到邊長為（a+b）與（3a+b）的矩形由3個邊長為a的正方形、4個邊長為a、b的矩形和一個邊長為b的正方形組成，則有（a+b）•（3a+b）=3a2+4ab+b2．

【解答】解：（1）*影部分為邊長為（b﹣a）的正方形，所以*影部分的面積（b﹣a）2；

（2）圖2中，用邊長為a+b的正方形的面積減去邊長為b﹣a的正方形等於4個長寬分別a、b的矩形面積，

所以（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；

（3）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，

而x+y=5，x•y=，

∴52﹣（x﹣y）2=4×，

∴（x﹣y）2=16，

∴x﹣y=±4；

（4）邊長為（a+b）與（3a+b）的矩形面積為（a+b）（3a+b），它由3個邊長為a的正方形、4個邊長為a、b的矩形和一個邊長為b的正方形組成，

∴（a+b）•（3a+b）=3a2+4ab+b2．

故*為（b﹣a）2；（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；±4；（a+b）•（3a+b）=3a2+4ab+b2．

知識點：乘法公式

題型：解答題