猜想與*：如圖①擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B，C，G三點在一條直線上，CE在邊CD上．連結A...

問題詳情：

猜想與*：如圖①擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B，C，G三點在一條直線上，CE在邊CD上．連結AF，若M為AF的中點，連結DM，ME，試猜想DM與ME的數量關係，並*你的結論．

拓展與延伸：

(1)若將“猜想與*”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關係為__________________；

(2)如圖②擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點F在邊CD上，點M仍為AF的中點，試*(1)中的結論仍然成立．(提示：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半)

①              　②

【回答】

猜想與*：猜想DM與ME的數量關係是：DM＝ME，*見解析；拓展與延伸：(1)DM＝ME，DM⊥ME；(2)*見解析

【分析】

猜想：延長EM交AD於點H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等於斜邊的一半*．

（1）延長EM交AD於點H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等於斜邊的一半*，

（2）連接AC，AC和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等於斜邊的一半*，

【詳解】

解：猜想與*：

猜想DM與ME的數量關係是：DM＝ME.

*：如圖①，延長EM交AD於點H.

①

∵四邊形ABCD、四邊形ECGF都是矩形，

∴AD∥BG，EF∥BG，∠HDE＝90°.

∴AD∥EF.

∴∠AHM＝∠FEM.

又∵AM＝FM，∠AMH＝∠FME，

∴△AMH≌△FME.

∴HM＝EM.

又∵∠HDE＝90°，

∴DM＝EH＝ME；

（1）∵四邊形ABCD和CEFG是正方形， ∴AD∥EF， ∴∠EFM=∠HAM， 又∵∠FME=∠AMH，FM=AM， 在△FME和△AMH中， ，

∴△FME≌△AMH（ASA） ∴HM=EM， 在RT△HDE中，HM=EM， ∴DM=HM=ME， ∴DM=ME． ∵四邊形ABCD和CEFG是正方形， ∴AD=CD，CE=EF， ∵△FME≌△AMH， ∴EF=AH， ∴DH=DE， ∴△DEH是等腰直角三角形， 又∵MH=ME，

 故*為：DM＝ME，DM⊥ME；

（2）*：如圖②，連結AC.

②

∵四邊形ABCD、四邊形ECGF都是正方形，

∴∠DCA＝∠DCE＝∠CFE＝45°，

∴點E在AC上．

∴∠AEF＝∠FEC＝90°.

又∵點M是AF的中點，

∴ME＝AF.

∵∠ADC＝90°，點M是AF的中點，

∴DM＝AF.

∴DM＝ME.

∵ME＝AF＝FM，DM＝AF＝FM，

∴∠DFM＝ (180°－∠DMF)，∠MFE＝ (180°－∠FME)，

∴∠DFM＋∠MFE＝  (180°－∠DMF)＋  (180°－∠FME)

＝180°－ (∠DMF＋∠FME)

＝180°－∠DME.

∵∠DFM＋∠MFE＝180°－∠CFE＝180°－45°＝135°，

∴180°－∠DME＝135°.

∴∠DME＝90°.

∴DM⊥ME.

【點睛】

本題主要考查四邊形的綜合題，解題的關鍵是利用正方形的*質及直角三角形的中線與斜邊的關係找出相等的線段．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題