問題詳情:
雙曲線的虛軸長為,兩條漸近線方程為.
(1)求雙曲線的方程;
(2)雙曲線上有兩個點,直線和的斜率之積為,判別是否為定值,;
(3)經過點的直線且與雙曲線有兩個交點,直線的傾斜角是,是否存在直線(其中)使得恆成立?(其中分別是點到的距離)若存在,求出的值,若不存在,請説明理由.
【回答】
(1);(2)8;(3)存在且
【解析】
分析:(1)根據題意,雙曲線的虛軸長為,兩條漸近線方程為.易求求雙曲線的方程;
(2)設直線的斜率,顯然,
聯立得,求出,,可*;
(3)設直線方程,
聯立,(*),
∵,方程總有兩個解,
設,得到,
根據得,整理得,由,則符合題目要求,存在直線.
詳解:
(1)雙曲線;
(2)設直線的斜率,顯然,
聯立得,
,
,
;
(3)設直線方程,
聯立,(*),
∵,方程總有兩個解,
設,
,
根據得,
整理得,
∵,
∴符合題目要求,存在直線.
點睛:本題考查雙曲線的求法,直線與雙曲線的位置關係,屬難題.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題