問題詳情:
雙曲線C與橢圓有相同的焦點,直線為C的一條漸近線.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過點P(0,4)的直線l交雙曲線C於A、B兩點,交x軸於Q點(Q點與C的頂點不重合),當時,求Q點的座標.
【回答】
解:(1)設雙曲線方程為
由橢圓,求得兩焦點為(-2,0),(2,0)
∴對於雙曲線C:c=2,又為雙曲線C的一條漸近線,
∴ 解得 ∴雙曲線C的方程為
(2)解法一:由題意知直線l的斜率k存在且不等於零,
設l的方程:
則
∵
∴
∴
∵A(x1, y1)在雙曲線C上, ∴
∴
∴
同理有:
若16-k2=0,則直線l過頂點,不合題意。
∴16-k2≠0, ∴是二次方程 的兩根
∴ ∴k2=4,此時△>0, ∴k=±2
∴所求Q的座標為(±2,0)
解法二:由題意知直線l的斜率k存在且不等於零。
設l的方程:
∵ ∴Q分的比為。由定比分點座標式得:
下同解法一
解法三:由題意知直線l的斜率k存在且不等於零。
設l的方程:
∵ ∴
∴
∴ 即
將
∵,否則l與漸近線平行
∴
∴ ∴
解法四:由題意知直線l的斜率k存在且不等於零,
設l的方程:
∵ ∴
∴
同理
即
又由 消去y,得
當3-k2=0時,則直線l與雙曲線的漸近線平行,不合題意,
由韋達定理有:
代入(*)式得k2=4,k=±2
∴所求Q的點的座標為(±2,0)
知識點:圓錐曲線與方程
題型:計算題