已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，動點在軸上方.（1）若點的座標為是雙曲線的一條漸近線上的點，求以、為...

問題詳情：

已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，動點在軸上方.

（1）若點的座標為是雙曲線的一條漸近線上的點，求以、為焦點且經過點的橢圓的方程；

（2）若∠，求△的外接圓的方程；

（3）若在給定直線上任取一點，從點向(2)中圓引一條切線，切點為. 問是否存在一個定點，恆有？請説明理由.

【回答】

解：（1）雙曲線的左、右焦點、的座標分別為和，

∵雙曲線的漸進線方程為：，

∴點的座標為是漸進線上的點，即點的座標為。

∵∴橢圓的長軸長

∵半焦距，∴橢圓的方程     ……………………..5分

（2）∵，∴，即

又圓心在線段的垂直平分線上，故可設圓心

由。∴△的外接圓的方程為……………..9分

（3）假設存在這樣的定點設點P的座標為

∵恆有，∴

即對恆成立。

從而，消去，得

∵方程的判別式

∴①當時，方程無實數解，∴不存在這樣的定點；

②當時，方程有實數解，此時，即直線與圓相離或相切，故此時存在這樣的定點

知識點：圓錐曲線與方程

題型：綜合題