已知雙曲線的方程為，離心率,頂點到漸近線的距離為(1)求雙曲線的方程;(2)設是雙曲線上點，,兩點在雙曲線的兩...

問題詳情：

已知雙曲線的方程為，離心率,頂點到漸近線的距離為

(1)求雙曲線的方程;

(2)設是雙曲線上點，,兩點在雙曲線的兩條漸近線上，且分別位於第一、二象限，若，求面積的取值範圍.

【回答】

（1）（2）

【解析】

（1）由頂點到漸近線距離、離心率和雙曲線的關係可構造方程求得，進而得到雙曲線方程；

（2）假設三點座標，利用可表示出點座標，代入雙曲線方程整理可得；結合漸近線斜率和傾斜角的關係、同角三角函數和二倍角公式可求得，利用三角形面積公式可將所求面積化為關於的函數，利用對號函數的*質即可求得所求取值範圍.

【詳解】（1）由雙曲線方程可知其漸近線方程為，頂點座標

頂點到漸近線距離

由得：    雙曲線的方程為：

（2）由（1）知：雙曲線漸近線方程為

設，，，其中，

則，

由得：   

，整理可得：

設        

，   

又，

當時，在上單調遞減，在上單調遞增

即面積的取值範圍為

【點睛】本題考查雙曲線方程的求解、雙曲線中三角形面積取值範圍的求解問題；求解三角形面積取值範圍的關鍵是能夠利用某一變量將所求面積表示為關於該變量的函數的形式，進而利用函數求值域的方法求得所求範圍.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題